G81C11 乘法公式完整教學

STEP 01｜PREREQUISITES

先備：加減看同類項，乘法看指數

先把「相加」和「相乘」分乾淨。這裡如果混淆，後面所有公式都會一起混。

加法改變係數、乘法改變指數的比較圖 — 先備觀念圖：加法看「數量」，乘法看「連乘幾次」。

相同未知數相加：改變係數

A＋A＋A→3A

5A－2A→3A

因為都是同一種「A」，所以把前面的數量合併。

相同未知數相乘：改變指數

A×A→A²

A×A×A→A³

指數是在記錄「同一個因數乘了幾次」。

不同未知數相加：不能合併

A＋B→A＋B

可以交換成 B＋A，但不能變成 2A、2B 或 AB。

不同未知數相乘：寫在一起

A×B→AB

AB＝BA，但通常依字母順序寫成 AB。

一句話： A＋A 是 2A；A×A 是 A²。兩件事完全不同。

再補一個一定會用到的指數律：積的次方

乘法公式裡如果括號中的項本身帶有係數，平方時不是只有未知數平方，整個單項式都要平方。

(AB)ⁿ＝AⁿBⁿ

(2x)²＝2²x²＝4x²

2 和 x 都在括號裡，所以都要平方。

(3xy)²＝3²x²y²＝9x²y²

括號中的每一個相乘因數，都一起受到平方作用。

常見錯誤： (2x)² 不是 2x²，而是 4x²。

先備快問： A×A 應該寫成什麼？

STEP 01B｜EXPONENT SCOPE

指數有「控制範圍」，負號也要連著看

原版的先備知識有係數與指數律；今天這裡特別處理「次方到底管到哪裡」。這一塊很重要，因為後面 (5x－3)² 會直接用到。

負號有沒有被括號包住時，指數控制範圍的比較 — 關鍵不是看到偶次方就說正，而是先確認括號邊界。

沒有括號

－3⁴＝－(3⁴)＝－81

四次方只控制 3，外面的負號可以視為「乘以 −1」。

有括號

(－3)⁴＝81

四次方控制整組 (－3)，所以負號也一起被平方。

口訣：先看指數 → 往左下看 → 看它控制的是「一個數」還是「整組括號」。

(－3A)³＝(－1)³·3³·A³＝－27A³

(5x)²＝5²x²＝25x²

STEP 01C｜EXPONENT LAWS

不要只背「相乘加、相除減」：把 A 真的展開來看

這一段是前一堂課很重要的脈絡：指數律不是規定，是把同樣的因數展開後自然得到的結果。

同底數相乘

Aᴺ × Aᴹ ＝ Aᴺ⁺ᴹ

AAAA…A × AAAA…A → 全部接在一起

前面有 N 個 A，後面有 M 個 A，合起來就是 N＋M 個 A。

同底數相除

Aᴺ ÷ Aᴹ ＝ Aᴺ⁻ᴹ

AAAAA / AAA → AA

分子與分母把相同的 A 約掉，留下 N－M 個 A。

負指數從哪裡來？

A³ ÷ A⁵ ＝ A³⁻⁵ ＝ A⁻²

AAA / AAAAA → 1 / AA

所以 A⁻²＝1/A²

10⁻³＝1/10³＝1/1000＝0.001

A⁵÷A³＝A²

重點：老師不是只叫你背「負次方變倒數」，而是要知道它是從「相除、約分」長出來的。

STEP 02｜MONOMIAL × MONOMIAL

先讓「數字乘數字，字母乘字母」變成習慣

最簡單

A×A＝A²

帶係數

2A×3A＝6A²

2×3＝6；A×A＝A²。

不同字母

2A×3B＝6AB

2×3＝6；A×B＝AB。

A×A→2A×3A→A×B→2A×3B

STEP 03｜DISTRIBUTIVE LAW

單項式 × 括號：真正的核心其實只有分配律

點按步驟，看括號外面的每一項如何「分配」給括號裡每一項。

分配律與負指數倒數概念圖 — 兩個底層工具：分配時保留符號；負指數表示相除後留下的倒數。

A(B＋2)

重點： 乘法公式沒有發明新的算法。後面所有公式，都只是把這個分配律整理得更快。

STEP 04｜BINOMIAL × BINOMIAL

兩個括號先不要背口訣：每一項都要乘到

第一次練習先刻意不用負數，避免符號干擾「每一項都要分配」這件事。

(3A＋2)(2B＋3)

→

6AB＋9A＋4B＋6

3A2

2B3

6AB3A×2B

4B2×2B

9A3A×3

62×3

整體長方形：(3A＋2) × (2B＋3)

STEP 05｜AREA MODEL

先把一般式畫成四格： (A＋B)(C＋D)

長是 A＋B，寬是 C＋D；整個大矩形的面積，就是四小塊面積相加。

長度、正方形面積與矩形面積的數形結合示意圖 — 從一維長度走到二維面積：A×A＝A²，A×B＝AB。

AB

CD

AC

BC

AD

BD

整體長方形：(A＋B) × (C＋D)

現在只要讓 C＝A、D＝B，長與寬都會變成 A＋B，原本的長方形就會變成正方形，第一個乘法公式自然出現。

STEP 06｜THE THREE FORMULAS

三大乘法公式，是三種特殊排列

① 和的平方

和的平方拼圖，包含 A平方、兩個 AB 與 B平方 — 公式一｜四塊拼成完整正方形，所以中間一定有兩塊 AB。

AB

A²

AB

B²

2AB 從哪裡來？ 不是背出來的，是正方形裡真的有兩塊 AB。

② 差的平方：從 A×A 的正方形「每邊扣掉 B」

先從邊長 A 的正方形開始。右邊扣掉一條寬 B 的長條、下方再扣掉一條寬 B 的長條；但右下角的 B² 被兩條長條重複扣掉，所以要加回一次。這正是排容原理。

差的平方與排容原理：B平方被多剪一次所以補回 — 公式二｜兩條 AB 都扣掉後，角落 B² 被重複扣除，所以必須補回一次。

(A－B)²

B²

A－BB A－BB

外框是 A×A。右條 AB、下條 AB 都被扣除；右下角 B² 同時屬於兩條，因此被多扣一次。

原面積：A²

扣右邊：－AB

扣下方：－AB

重複扣到 B²：＋B²

排容觀念：兩個被扣除的長條有重疊。重疊區 B² 被扣了兩次，所以要加回一次。

用代數看一次：

(A－B)²＝[A＋(－B)]²

＝A²＋2A(－B)＋(－B)²

＝A²－2AB＋B²

③ 平方差：把「大正方形挖掉小正方形」重新拼成長方形

左邊先看面積 A²－B²：大正方形的邊長是 A，所以面積是 A×A；右下角挖掉的小正方形邊長是 B，所以面積是 B×B。剩下的 L 形，把其中一條長條切下來平移到另一邊，就能重新拼成邊長 A－B 與 A＋B 的長方形。

平方差公式，把缺角正方形重組為長方形 — 公式三｜A²−B² 的缺角圖形，可重組為 (A＋B)(A−B) 的長方形。

AABBA²－B²

B²

大正方形：A×A；挖掉的小正方形：B×B

把下方留下的長條切下來，→ 平移到右邊，L 形就能重新拼成長方形。

平移重拼 →

A＋BA－B(A－B)(A＋B)

L 形重新拼成長方形

代數上同樣看得到：A²－AB＋AB－B²，中間的 −AB 與＋AB 抵消。

STEP 06B｜FORMULA APPLICATION

公式會了以後，真正要練的是「長相越來越醜也看得出來」

課本常先給漂亮數字；課堂後半段開始故意把係數、負號、雙變數加進來。做法不變：先把整組當成 A、B，再打回原形。

連帶符號做分配律，將正負號與數字一起看 — 符號連著項一起看，可少寫括號，也能降低漏號與打結的機會。

和平方：頭平方尾平方中間＋2AB 差平方：頭平方尾平方中間－2AB

基本型

(x＋8)²＝x²＋16x＋64

完全平方數要熟

(x＋22)²＝x²＋44x＋484

係數型

(5x－3)²＝25x²－30x＋9

第一項是 (5x)²，不是 5x²。

雙變數

(3x＋2y)²＝9x²＋12xy＋4y²

口訣：「長得醜不要硬展開。數字越小越好算、符號越少越好算；先整理，再套公式。」

見二找五，配成十的次方巧算表 — 湊十：2 配 5、4 配 25、8 配 125、16 配 625。

數字長相解碼：見九缺一、見一多一與循環數字 — 解碼數字長相：靠近整百與循環結構，都能翻譯成較漂亮的算式。

STEP 06C｜PERFECT SQUARES

1～25 的完全平方數：這不是主公式，但它決定你算得快不快

1～25 的完全平方數要熟。因為做反向辨識、巧算、平方差時，看到 169、484、625 能不能立刻反應差很多。

例：484 要能反想到 22²。

STEP 06D｜REVERSE PATTERNS

反向看公式：看頭、看尾、看中間

這是乘法公式往「因式分解」走的第一座橋。不是每一題都從括號展開；有時候要從展開式反推括號。

口訣：頭開根、尾開根，中間再驗是不是 ±2AB。

x²＋6x＋9

x² → x；9 → 3²；6x＝2·x·3

＝(x＋3)²

x²－16x＋64

64＝8²；−16x＝−2·x·8

＝(x－8)²

x²－169

169＝13²，直接辨認平方差。

＝(x＋13)(x－13)

STEP 06E｜SYMMETRY & QUICK CALC

平方差的重點不是「乘法」，而是找對稱中心

看到 204×196、100.5×99.5 這類題目，先不要急著算；先問：「誰在中間？」

97 與 103 以 100 為中心的平方差巧算數線 — 97 與 103 距離 100 都是 3，因此 103×97＝100²−3²。

204、196

中間 200

(200＋4)(200－4)

88、72

中間 80

(80＋8)(80－8)

54、46

中間 50

(50＋4)(50－4)

看不出來就求平均：兩個數相加 ÷ 2。若左右差相同，就能切成 (A＋B)(A－B)。

第一個數

第二個數

平均＝200，左右各差 4，可用平方差。

幾何題：外框減內框，本質也是平方差

外框 47內框 43

47²－43²

＝(47＋43)(47－43)

＝90×4＝360

外框面積減內框面積，不用真的把兩個平方各算一次。

STEP 06F｜ADVANCED APPLICATION

必考變化一次量求二次量：看到次數差一階，就想「平方」

這是很重要的進階題型。這種題目課本題量不一定多，但評量很常出現。

口訣：一次求二次 → 不要懷疑，直接平方。二次要求一次 → 再考慮開根號。

已知 a－b＝3、ab＝5，求 a²＋b²。

(a－b)²＝a²－2ab＋b²

3²＝a²＋b²－2·5

9＝a²＋b²－10

STEP 06G｜QUICK CALCULATION

數字越漂亮，計算越省力

這是乘法公式很重要的應用觀：先觀察、再翻譯，盡量把原本難看的數字改寫成 10、100、1000 或對稱結構。

數字越小越好算符號越少越好算數字越漂亮越好算見 9 缺 1 見 1 多 1 見 2 找 5

靠近整百：先翻譯

403²＝(400＋3)²

＝160000＋2400＋9＝162409

靠近整數：差平方

49.9²＝(50－0.1)²

＝2500－10＋0.01＝2490.01

找 2 與 5，湊成 10

12×15＝(6×2)(3×5)

＝18×10＝180

199 看成 200－1

199×250＝(200－1)×250

＝50000－250＝49750

循環數字也有結構

abab＝ab×101

例如 8787＝87×101。

abcabc＝abc×1001

而 1001＝7×11×13。

878787＝87×10101

不要先被六位數嚇到，先找重複結構。

987987＝987×1001

再利用 1001＝7×11×13 分解。

為什麼要一直把數字「弄漂亮」？

因為計算不是比誰比較會硬算。真正快的人會先看數字的長相，找出可以改寫、配對、對稱或代換的位置。

STEP 07｜EXTENSIONS

從三大公式繼續往外長

這裡不是國中一定要背的公式，而是讓學生看見：二項式平方只是更大結構中的第一步。

④ 三項式平方：(A＋B＋C)²

把邊長 A＋B＋C 的正方形，橫向、縱向都切成 A、B、C 三段，就會得到 3×3 共九塊。

ABC

A²

AB

AC

AB

B²

BC

AC

BC

C²

三個平方各出現一次；兩兩相乘的長方形則各出現兩次。

⑤ 和的立方：(A＋B)³

這是一個正立方體：長、寬、高的總長都相同，都是 A＋B。三個方向各切成 A 與 B，因此得到 8 個小立體；把相同體積合併，就得到係數 1、3、3、1。

(A＋B)³

＝(A＋B)(A＋B)²

＝(A＋B)(A²＋2AB＋B²)

＝A³＋3A²B＋3AB²＋B³

立方體看「體積」；展開式看「分配律」。兩條路最後得到同一組係數：1、3、3、1。

⑥ 再往上：(A＋B)ⁿ 與巴斯卡三角形

平方的係數是 1、2、1；立方是 1、3、3、1。繼續做下去，係數會形成巴斯卡三角形。點一列看看對應的二項式展開。

(A＋B)⁰＝1

規律：每個內部數字，都等於它左上與右上兩個數字相加；第 n 列就是 (A＋B)ⁿ 的係數。

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STEP 08｜ALGEBRA SUBSTITUTION

解題技巧：先認出公式，再用「代數代入」把醜東西變簡單

學生最容易出錯的地方，不是忘記公式，而是忘記「整個單項式」都要平方。這個問題其實回到前面的指數律就能解決。

以 403 平方示範拆解、代入、展開與還原計算 — 代數代入四步：拆解 → 指定 A、B → 套公式 → 還原計算。

先看一個簡單的，再看最常犯錯的

看起來很直覺

(x＋6)²

＝x²＋12x＋36

係數一出現，就容易漏平方

(2x＋3)²

常見錯寫：2x²＋12x＋9

正確：(2x)²＋2(2x)(3)＋3²

＝4x²＋12x＋9

根本原因：學生只記得「x 要平方」，卻忘了 (2x)² 是整個 2x 一起平方；也就是忘了 (AB)ⁿ＝AⁿBⁿ。

代數代入：把複雜的項先取一個簡單名字

例如看到 (3x＋4y)²，不要一開始就直接硬展開。先把兩個較長的單項式視為新的代數。

原式
(3x＋4y)²

→

令
A＝3x
B＝4y

→

變成
(A＋B)²

① 套公式

(A＋B)²＝A²＋2AB＋B²

② 把 A、B 換回原來的東西

＝(3x)²＋2(3x)(4y)＋(4y)²

③ 再用指數律整理

＝9x²＋24xy＋16y²

這個技巧叫「代數代入」。先把複雜結構換成簡單的 A、B，完成公式操作後再換回來。這不只用在乘法公式；到高中函數、三角、指數對數、微積分前的代數整理都會反覆使用。

建議固定成三步解題流程

STEP 1｜辨識結構

先看它是不是 (A＋B)²、(A－B)² 或 (A＋B)(A－B)。

STEP 2｜代換

若項目太長，就令 A＝第一項、B＝第二項。

STEP 3｜打回原形

把 A、B 換回去，再處理係數平方與指數律。

STEP 09｜COMMON TRAP

最常見錯誤：(A＋B)² ≠ A²＋B²

錯誤想法

(A＋B)² → A²＋B²

這樣等於把中間兩塊 AB 整塊刪掉。

正確結構

(A＋B)²＝A²＋2AB＋B²

先用四格面積確認，再練到可以直接辨識。

診斷： 若把 (A＋B)² 錯寫成 A²＋B²，少了哪一項？

另一個高頻錯誤：係數忘記平方

(2x＋3)²

錯：2x²＋12x＋9

對：4x²＋12x＋9

檢查第一項時，永遠問自己：「我現在平方的是 x，還是整個 2x？」答案是整個 2x。

BONUS｜TEACHER'S KINDNESS

老師滿滿「善意」題型

這類題目看起來像分數題，其實核心還是乘法公式。真正容易卡住的地方，通常不是公式本身，而是幾個很基本、卻很容易被忘記的小觀念。

盲點 ①：相乘後就是 1

A × 1A＝1

所以在和的平方裡，中間項其實就是：

盲點 ②：1 也是完全平方數

1＝1²

1A²＝(1A)²

因此 1A² 可以看成「1A 的平方」，直接放進平方公式的結構裡。

標準解題結構

假設 A＋1A＝k（A ≠ 0）。

兩邊平方

(A＋1A)²＝k²

套用和的平方

A²＋2 × A × 1A＋(1A)²＝k²

把中間項化簡

A²＋2＋1A²＝k²

移項

A²＋1A²＝k²－2

例題

已知 A＋1A＝5，求 A²＋1A²。

(A＋1A)²＝25

A²＋2＋1A²＝25

教學提醒：這題不是要學生多背一條公式，而是要他看出平方公式的結構。一旦看懂 A × 1A＝1，以及 (1A)²＝1A²，整題就只是和平方公式的直接應用。

STEP 10｜G81C11 QUESTION BANK

概念完成，現在進題庫把辨識速度練起來

既有 G81C11 題庫已涵蓋平方公式、平方差，以及反向與快速計算等題型。建議順序是先公式基本題，再做逆運算與快算。

和的平方→差的平方→平方差→公式反向→快算→綜合

進入 G81C11 題庫 ↗

乘法公式，不是三條要背的咒語