運動學 討論時間與空間的科學

STEP 2 · EXPERIMENT

1-1 實驗－單擺的擺動週期

再正式改變擺錘質量、10°內擺角與擺長，對照上方互動單擺，找出真正影響週期的變因。

T ∝ √l

擺長增加，週期增加；不是和擺長直接成正比。

T = 2π√l/g

講義列出的完整關係式，用來看出質量 m 沒出現在式子裡。

改變的量	10° 內觀察結果	判斷重點
擺錘質量 m	週期幾乎不變	不是主要變因
擺角 θ	小角度內週期幾乎不變	實驗需限制小角度
擺長 l	越長，週期越長	主要變因

常見錯誤：「人比較重，所以盪鞦韆比較慢」不符合這裡的小角度單擺模型；同一擺長下，質量不同，週期近似相同。

實驗補充 01

單擺週期：控制變因真的在做什麼？

講義的核心不是只背「擺長影響週期」，而是學會固定其他條件，一次只改一個變因。

改擺錘質量

固定擺長
固定小擺角
比較不同質量擺錘的 10 次／20 次擺動時間

改擺角

固定擺長
固定擺錘質量
限制在約 10° 內比較週期

改擺長

固定質量
固定小擺角
觀察擺長越長，週期越長

實驗技巧：不要只量 1 次往返。量 10 次、20 次再除以次數，能降低按碼表反應時間造成的比例誤差。

PHENOMENON VIDEO

蛇擺／Pendulum Wave：每顆都只是單擺，為什麼會像波一樣？

把許多不同長度的單擺排在一起，每一顆都有自己的週期。因為週期略有不同，整體會逐漸形成波浪、駐波與再同步的視覺效果。

先看單顆：擺長不同 → 週期不同。

再看整排：微小的週期差會逐漸累積成相位差。

核心：不是互相推動，而是許多獨立單擺同時運動形成的圖樣。

觀察任務：找找看什麼時候最整齊、什麼時候最凌亂，以及為什麼後來又會重新排出規律。

03 · POSITION IN SPACE

位置一定要先說「以誰為準」

講義將位置分成兩種描述：絕對座標（例如經緯度）與相對座標。國中直線運動最重要的是後者：參考點、方向、距離。

描述位置的三件事

① 基準點

先說「以哪裡為 0」。換參考點，位置描述就可能改變。

② 方向

一直線上可以用正、負號表示方向；正負不是遠近，而是方向。

③ 距離

最後還要說離基準點多遠，位置才完整。

像颱風警報同時使用經緯度與「在某地某方向幾公里」：前者適合精確定位，後者適合日常溝通。

REFERENCE

參考點

先固定「從哪裡看」。同一個人，換參考點後坐標會改變。

DIRECTION

方向

東西、南北，或在一維直線中用正負號表示方向。

DISTANCE

距離

還要說離參考點多遠，位置才描述完整。

參考點切換器

小車實際位置不動，只改參考點。觀察坐標如何跟著改變。

實際標記位置+3

目前參考點O = 0

相對坐標+3

描述東方 3 單位

絕對座標

直接使用共同約定的座標系，例如經緯度。重點是所有人都使用同一套基準。

相對座標

必須同時說出參考點、方向、距離。例如「台北在台中的北北西方 200 km」。少其中一項，位置描述就不完整。

參考點哪裡當 0？

正方向哪邊算＋？

位置現在在哪？

初位置x₀

末位置x

座標換原點：物體沒有移動，也可能因為「換參考點」而得到不同座標。這不是物體突然跑掉，是描述方式改變。

04 · PATH vs DISPLACEMENT

走了多遠，和「最後離起點多遠」是兩件事

講義把「路徑／路程」與「位移」刻意分開：路程把所有走過的長度加總；位移只看起點到終點，並且考慮方向。

一條很值得記的關係：路徑長 ≥ 位移大小

路徑長

實際走過的每一段都要加總，沒有方向。

位移

只比較起點與終點的位置差，有方向。

跑操場一圈回到原點：路徑長不是 0，但位移是 0。只有「沿直線、單一方向、不折返」時，路徑長才等於位移大小。

PATH / DISTANCE

路程

不考慮方向，把所有移動的長度都列入計算。

走過多少，就全部加起來

DISPLACEMENT

位移

考慮方向，只看起點到終點的直線變化。

位移 = 終點位置 − 起點位置

走路模擬器

每按一次就加入一段移動。你可以故意折返，看看路程與位移如何分家。

路徑：0

起點0

終點0

總路程0

位移0

最常見混淆： 回到起點時，位移 = 0，但只要真的走過一段路，路程不會是 0。

05 · SPEED & VELOCITY

「多快」要先分清楚：速率和速度不是同一件事

講義的定義很乾淨：平均速率看總路程，平均速度看總位移。瞬時量則把觀察時間縮到極短，描述那一瞬間的運動狀態。

平均與「當下」：測速照相 vs 區間測速

傳統測速

測量非常短時間內通過固定距離的情形，用來代表車輛當下的速率。

區間測速

用整段路程 ÷ 通過整段所花時間，得到該路段的平均速率。

速率只回答「多快」；速度還要回答「往哪裡」。同樣 3 m/s，向東與向西的速率相同，但速度不同。

AVERAGE SPEED

平均速率

只問「總共走了多少路」，不管最後在哪個方向。

平均速率 = 總路程 ÷ 總時間

AVERAGE VELOCITY

平均速度

改看「起點到終點的位移」，所以方向會進入答案。

平均速度 = 位移 ÷ 總時間

同一段運動，兩種答案

沿用前面的走路模擬器概念。假設 10 秒內：先向東 30 m，再向西 10 m。

起點 0 m→東 30 m→西 10 m→終點 +20 m

總路程40 m

位移+20 m

平均速率4 m/s

平均速度+2 m/s

判斷口訣：題目若改變方向，平均速率與平均速度通常就會分開。

VIDEO · 速度與加速度的入口

先看運動狀態，再進公式

播放清單第 7 支「認識速度與加速度」放在這裡最合適：學生已經知道時間、位置、位移，再看速度改變就不會只是背名詞。

物理量	平均	瞬時
速率	總路程 ÷ 總時間	極短時間內的路程變化快慢；例如測速照相。
速度	位移 ÷ 總時間	極短時間內的位移變化，包含方向。

UNIT CONVERSION

m/s 與 km/h 不要混用

講義提醒：物理計算常用 m/s，生活常見 km/h。因 1 m/s = 3.6 km/h，所以兩者可快速互換。

m/s

⇄

km/h

常考：72 km/h = 20 m/s；108 km/h = 30 m/s。看到車速題，先統一單位再算。

平均速率陷阱：上山 6 km/h、沿同一路下山 12 km/h，平均速率是不是 9 km/h？

不是。相同路程來回時，慢的那段花比較久，所以平均速率是 8 km/h；若回到原點，全程平均速度為 0。

UNIT CONVERSION

單位換算：m/s ↔ km/hr

物理題常用 m/s，生活中的車速常用 km/hr。因為 1 m = 0.001 km、1 s = 1/3600 hr，所以 1 m/s = 3.6 km/hr。

m/s

⇄

km/hr

m/s → km/hr：× 3.6

例：30 m/s = 108 km/hr

km/hr → m/s：÷ 3.6

例：72 km/hr = 20 m/s

考題習慣：看到 km/hr 先檢查題目其他量是不是用秒與公尺；如果是，通常先換成 m/s 再計算。

AUTO PRACTICE

學完單位換算，馬上去做秒速 ↔ 時速

練習 m/s ×3.6 = km/hr、km/hr ÷3.6 = m/s 的單位換算。

速度單位換算練習

開啟九年級理化自動出題頁，再切到這一段對應的題型。

06 · POSITION–TIME GRAPH

x-t 圖：不是一條「走路路線圖」

橫軸是時間、縱軸是位置。圖上的斜率代表位置改變得多快；水平線表示位置沒變，也就是物體靜止。

X-T 圖其實是在把「時間 → 位置」變成函數

同一時刻，一個位置

同一個物體在一維運動中，一個時間 t 應對應一個位置 x。

線不是「實際走過的軌跡」

X-T 圖的線是位置與時間的對應關係，不是把道路形狀畫出來。

直線段越陡，表示同樣時間內位置改變越大；斜率正負同時告訴你運動方向。

每 1 秒決定一次下一個位置

按按鈕建立一段 x-t 資料：向右、停住、向左。觀察折線的斜率如何跟運動狀態對應。

時間0 s

位置0 m

總路程0 m

平均速度—

讀圖：往右走 → 線向上；停住 → 水平；往左走 → 線向下。斜得越陡，速度量值越大。

斜率正

位置隨時間增加，代表向正方向運動。斜率越陡，速度量值越大。

水平線

一段時間內位置完全不變，代表物體靜止；不是「速度固定但不為零」。

斜率負

位置隨時間下降，代表朝負方向運動。

同一時間不能兩個位置

x-t 圖不會在同一個 t 上同時出現兩個 x；否則表示同一物體同時出現在兩地。

等速度運動：x-t 圖是斜直線；v-t 圖則是水平線。不要把「圖是水平」直接等同於「物體靜止」，一定要先看縱軸是 x 還是 v。

07 · FROM X-T TO V-T

把 X-T 圖改成 V-T 圖：先讀每一段斜率

X-T 圖先告訴我們「在哪裡」。如果把每一段的斜率算出來，就能把同一段運動改畫成 V-T 圖。這一步最重要的是接受：速度可以是負的。

國中最穩的轉法：先處理「分段直線」

對一段直線 X-T 圖，斜率固定，代表這一整段做等速度運動，因此可以把這一段的斜率直接畫成 V-T 圖上的水平線。

要注意語言：兩點算出的斜率本質上先是這一段的平均速度；只有在這一段本來就是等速度運動時，它才同時等於這段每一時刻的速度。這樣銜接到高中「瞬時速度」會比較乾淨。

ONE MOTION · TWO GRAPHS

同一個運動：先往正方向、停住、再往負方向

0–2 s：x 由 0 → 4 m→2–4 s：x 維持 4 m→4–6 s：x 由 4 → −2 m

0–2 sX-T 斜率 = (4−0)/(2−0) = +2 m/s，所以 V-T 畫在 0 上方。

2–4 s位置不變，X-T 水平，所以 v=0。

4–6 sX-T 斜率 = (−2−4)/(6−4) = −3 m/s，所以 V-T 要畫到 0 下方。

負速度不是「速度比較小」而已：它代表運動方向與設定的正方向相反。

觀察活動 02

用手機錄影做自己的 X-T → V-T

準備

在走廊貼 0、1、2、3、4 m 標記，手機固定位置錄影。

操作

學生先往前走、停住、再退回；每 1 秒記一次位置。

分析

先畫 X-T 圖，再算每一段斜率，最後把斜率改畫成 V-T 圖。

重點：退回時 X-T 圖向右下降，因此斜率為負；這一段轉成 V-T 圖就一定會落到 v=0 的下方。

08 · TURTLE VS RABBIT

龜兔賽跑：到底誰快？平均與瞬時不是同一件事

這次把「終點」真的畫進 X-T 圖：烏龜先抵達，但兔子曾經跑得更快。這樣才能清楚分開「平均速度」與「瞬時速度」。

「誰比較快？」其實要先問：你在比哪一種快？

兔子

某一小段時間可以跑得非常快，所以最高的當下速率很高。

烏龜

如果一路穩定前進、不長時間停下，整場的平均速度反而可能比較大，先抵達終點。

這裡剛好接到下一個重要圖像：V-T 圖高度看速度，V-T 圖面積看位移。

TURTLE

烏龜：一直穩定前進，先到終點

終點設在 20 m。烏龜一直以 +2.5 m/s 前進，因此 8 秒抵達，之後停在終點。

平均速度 = 20 ÷ 8 = 2.5 m/s

RABBIT

兔子：瞬時很快，但中途休息

前 2 秒以 +6 m/s 跑到 12 m，接著休息 6 秒，最後再以 +2 m/s 前進，12 秒才到 20 m。

平均速度 = 20 ÷ 12 ≈ 1.67 m/s

烏龜抵達時間8 s

烏龜平均速度2.5 m/s

兔子最高瞬時速度6 m/s

兔子平均速度1.67 m/s

結論：兔子曾經「瞬間比較快」，但烏龜「整體平均比較快」，所以烏龜先抵達終點。

AREA UNDER V-T

V-T 圖的面積就是位移

把兩隻動物各自走到終點的 V-T 面積算完，都會得到 20 m。

烏龜：2.5 × 8 = 20 m

兔子：6×2 + 0×6 + 2×4 = 20 m

接著觀察：V-T 圖的「高度」看速度，「面積」看位移；如果 V-T 圖開始傾斜，就要用加速度描述速度的改變。

09 · ACCELERATION

加速度與平均／瞬時加速度：速度不會瞬間從 0 跳到 100

真實物體通常不會永遠等速度；車子也不可能從 0 在一瞬間變成 100。只要速度隨時間改變，就需要用「加速度」描述速度改變得有多快。

不要只用「a 正負」判斷變快或變慢

真正要比較的是速度方向和加速度方向。兩者同向，速率增加；兩者反向，速率減少。

v>0、a>0往正方向，而且變快

v>0、a<0往正方向，但變慢

v<0、a<0往負方向，而且變快

v<0、a>0往負方向，但變慢

所以：負加速度不等於「一定減速」；正加速度也不等於「一定加速變快」。

a = (V − V₀) / Δt

平均加速度：一段時間內的速度變化量 ÷ 時間

a = ΔV / Δt

ΔV = V − V₀

平均加速度

看一整段時間，只比較初速度、末速度與時間差。

瞬時加速度

把時間縮得非常短，描述某一瞬間速度正在改變得多快。

平均加速度計算器

初速度 V₀：0 m/s

末速度 V：10 m/s

時間 Δt：5 s

a = (V − V₀) / Δt

速度變化 ΔV+10 m/s

平均加速度+2.0 m/s²

判讀正加速度

先別把「正負」誤認成「快慢」

a > 0：速度數值往正方向增加。

a < 0：速度數值往負方向改變。

是否變快還要一起看速度方向。v 與 a 同向通常變快；反向通常變慢。

國中這一段先把「速度變化量 ÷ 時間」建立穩，不急著把所有正負號情況一次塞滿。

速度變快

如果 v 與 a 同方向，速度量值會增加。

速度變慢

如果 v 與 a 反方向，速度量值會減少。

速度為 0

不代表加速度也一定為 0；是否有加速度，要看速度接下來是否改變。

負速度 ≠ 減速。負號主要表示方向。若 v = −10 m/s、a = −2 m/s²，兩者同方向，物體其實愈來愈快。

馬上練：某物體第 1 秒速度 5 m/s，第 2 秒速度 8 m/s。若做等加速度運動，初速度與加速度為何？

每秒速度增加 3 m/s，所以 a = 3 m/s²。往回推到 t=0：V₀ = 5 − 3 = 2 m/s。

觀察活動 03

車子不會從 0 瞬間變 100：看「速度怎麼變」

起步

玩具車由靜止開始，記錄每隔固定時間的位置。若點距越來越大，代表速度增加。

煞車

車子已有速度後減速，若固定時間內位移越來越小，代表速度下降。

比較

同樣都是速度改變；只要 ΔV 不為 0，就可以談平均加速度。

把語言改成物理：「加速很快」不是指車現在跑多快，而是指速度在短時間內改變很多。

VIDEO · CONCEPT

認識速度與加速度

放在加速度定義後，讓學生把「速度變化」和加速度的概念先連起來。

AUTO PRACTICE

加速度定義練習

練習由初速度、末速度與時間差求 a = ΔV/Δt，也可搭配 km/hr → m/s 的換算。

平均加速度練習

開啟九年級理化自動出題頁，再切到這一段對應的題型。

INTERACTIVE · V-T & A-T

用一個可調的例子看速度怎麼改變

拖動初速度、加速度和觀察時間。V-T 圖會告訴你「現在速度是多少」；A-T 圖會告訴你「速度正在怎麼改變」。

初速度 V₀4 m/s

加速度 a-2 m/s²

觀察時間 t2 s

此刻速度 v0 m/s

速度變化量 Δv0 m/s

平均加速度0 m/s²

運動判讀減速中

當速度和加速度反向時，速率會變小；同向時，速率會變大。

V-T 圖

A-T 圖

10 · CONSTANT ACCELERATION

等加速度運動：加速度穩定，速度就規律地改變

如果每一樣長的時間內，速度都增加或減少一樣多，就叫做等加速度運動。平均加速度與瞬時加速度相同，V-T 圖是斜直線，A-T 圖是水平線。

GALILEO · INCLINED PLANE

為什麼伽利略用斜面？因為自由落體太快，先把變化「放慢」

在斜面實驗中，相同時間間隔內的位移逐漸增加；如果每一樣長時間內速度增加量固定，就建立出等加速度的規律。

觀察 1

相同時間間隔，走過的距離不相同。

觀察 2

平均速度依時間規律增加。

觀察 3

速度變化量相同 → 加速度固定。

伽利略的斜面研究最後得到的重要規律之一，是在等加速度條件下，位移與時間平方有關；這也為理解自由落體鋪路。

加速度固定

例如 a=+2 m/s²，每秒速度都增加 2 m/s。

速度規律變化

0、2、4、6、8……每秒增加量相同。

圖形有規律

V-T 斜率固定；A-T 是水平線。

等加速度速度序列

初速度 V₀：0 m/s

加速度 a：2 m/s²

不要混淆

等速度：速度不變，所以 a=0。

等加速度：速度一直變，但每秒改變量固定。

實驗補充 04

斜面運動：把等加速度「放慢」來看

為什麼用斜面？

自由落體太快，不方便手動觀察；讓小球沿斜面滾動，可以把速度變化拉長到可量測的尺度。

記錄什麼？

每隔固定時間記一次位置，觀察相鄰位移是否規律增加。

要判斷什麼？

若每一樣長時間內速度增加量近似固定，就符合等加速度模型。

和打點計時器連接：斜面實驗真正要看的不是「小球越來越快」而已，而是每段固定時間的速度增加量是否接近固定。

REAL EXPERIMENT · NASA VACUUM CHAMBER

保齡球與羽毛：抽掉空氣後，誰先落地？

在 NASA Glenn 的大型真空設施中，同時釋放保齡球與羽毛。當空氣阻力大幅降低後，兩者幾乎一起落下，直接把「自由落體的等加速度」變成可看見的實驗。

有空氣：羽毛受空氣阻力影響明顯，落得比較慢。

接近真空：空氣阻力大幅減少，不同重量的物體仍呈現相同的重力加速度。

連到等加速度：忽略空氣阻力時，地表附近可近似視為 a = g 固定。

看影片時注意：不是「所有物體在空氣中都一樣快」，而是把空氣阻力拿掉後，才看得出共同的重力加速度。

VIDEO · CONSTANT ACCELERATION

等加速度運動

配合「每秒速度改變量固定」的主概念。

VIDEO · CONSTANT ACCELERATION

等加速度運動例題

看完概念後，可接著練習計算與讀圖。

INTERACTIVE · CONSTANT ACCELERATION

等加速度：每一秒，速度都改變一樣多

當加速度固定時，A-T 圖會是一條水平線；V-T 圖則會是一條斜直線。下表把每 1 秒的速度列出來，就能看到規律。

初速度 V₀0 m/s

加速度 a2 m/s²

t (s)	0	1	2	3	4	5
v (m/s)
每秒增加量	—

如果每一秒都增加（或減少）一樣多，這就是等加速度。這時 V-T 圖是斜直線，A-T 圖是水平線。

V-T 圖

A-T 圖

11 · GRAPH ↔ FORMULA

圖形與公式的關係：先看 V-T 圖，再長出公式

依序看：1. V-T 圖斜率看加速度 → 2. 用加速度預測速度 → 3. V-T 圖面積看位移。

國中核心先看圖｜公式放進進階解題

先從圖讀懂，再使用公式

現行國中課綱重點放在 X-T、V-T、A-T 的圖表解讀與運動規律，不要求大量推導運動方程式。這一頁保留公式，是讓想進一步解題的學生使用。

核心 1

V-T 斜率 = 加速度。

核心 2

V-T 面積 = 位移。

進階

再從圖形關係延伸到 V=V₀+at 與位移公式。

SLOPE

V-T 圖斜率 = a

a = ΔV / Δt

VELOCITY

可預測速度

V = V₀ + at

DISPLACEMENT

V-T 圖面積 = 位移

S = V₀t + ½at²

S = (V + V₀)t / 2

一張 V-T 圖同時讀三件事

S = V₀t + ½at²

長方形 + 三角形

S = (V+V₀)t/2

梯形面積

AUTO PRACTICE

等加速度速度預測

練習已知 V₀、a、t 求 V，並進一步反推 t 或 a。

V = V₀ + at 練習

開啟九年級理化自動出題頁，再切到這一段對應的題型。

12 · X-T / V-T / A-T

三種圖要分工來看：X-T、V-T、A-T

把三張圖垂直排在一起看，學生比較不會混掉。關鍵不是背哪張圖長什麼樣，而是先分清楚：每張圖縱軸到底是什麼量。

INTERACTIVE · X-T / V-T / A-T

三圖同步：改一個參數，三張圖一起變

用等加速度運動做示範。調整初速度與加速度，觀察位置、速度、加速度三張圖如何同時改變。

初速度 V₀2 m/s

加速度 a1 m/s²

觀察時間 t3 s

位置 x0 m

速度 v0 m/s

加速度 a0 m/s²

三圖整合等加速度

X-T：斜率是速度 V-T：斜率是加速度 A-T：高度是加速度

如果 a>0，V-T 會往上傾斜；如果 a<0，V-T 會往下傾斜。X-T 的彎曲程度也會跟著改變。

X-T 圖

V-T 圖

A-T 圖

三種圖真正的分工

X-T

直接看位置；斜率讀速度。看不到「速度值如何隨時間畫成一條線」。

V-T

直接看速度；斜率讀加速度；面積讀位移。若不知道初位置，不能單靠它知道現在在哪裡。

A-T

直接看加速度；面積對應速度變化量。若沒有初速度，不能直接知道現在多快、往哪裡。

掉頭題就是三圖整合題：掉頭瞬間 v=0，但若 a≠0，下一瞬間速度就會改變符號，方向跟著反轉。

X-T 圖｜位置－時間圖

看得出位置，也能從斜率判斷快慢

能直接描述：某一時刻物體在什麼位置。
斜率代表：速度。向右上升＝正速度；向右下降＝負速度；斜率絕對值越大，表示速度量值越大。
水平線：位置不變，代表物體靜止。
限制：雖然能從斜率推快慢，但不像 V-T 圖那樣直接讀出速度值的變化。

一句話：X-T 圖主要在講時間 ↔ 位置，快慢是從斜率「間接看出來」的。

V-T 圖｜速度－時間圖

看得出快慢與變化，但看不出物體在哪裡

能直接描述：每一時刻的速度大小與正負方向。
斜率代表：加速度，能看出速度是否正在改變。
水平線：等速度，不一定是靜止。
限制：只看 V-T 圖，看不出位置在哪；只能知道現在快不快、速度怎麼變。

一句話：V-T 圖主要在講時間 ↔ 速度，位置要靠面積或額外初始條件才追得回去。

A-T 圖｜加速度－時間圖

只描述加速度，看不出現在多快、朝哪裡走

能直接描述：每一時刻加速度多大、是正還是負。
水平線：固定加速度，也就是等加速度運動。
限制 1：只看 A-T 圖，看不出現在速度有多大。
限制 2：也看不出物體位置，甚至不一定能直接判斷運動方向。

一句話：A-T 圖主要在講時間 ↔ 加速度，若沒有速度初始條件，就不知道現在到底快不快、往哪裡走。

三張圖的重點分工

圖	最直接看到什麼？	從斜率知道什麼？	看不出什麼？
X-T	位置	速度／快慢	不如 V-T 圖那麼直接看速度變化
V-T	速度、快慢、方向	加速度	位置在哪裡
A-T	加速度	（通常不作主要判讀）	現在多快、往哪個方向、位置在哪裡

教學口訣：
先看縱軸是 x、v 還是 a，再決定「水平代表什麼、斜率代表什麼、這張圖看不出什麼」。

TURNAROUND · 國中必懂

掉頭瞬間：速度可以是 0，但加速度不一定是 0

這裡先不用自由落體。直接用一維等加速度的「往右 → 減速 → 停一下 → 往左」來看最清楚。

例：v₀ = +6 m/s，a = −2 m/s²

一開始往右，速度為正。

因為加速度向左，所以速度每秒減少 2 m/s。

3 秒時剛好 v = 0，這只是「掉頭的瞬間」。

但此時 a = −2 m/s² 仍然存在，所以下一瞬間開始往左。

掉頭時刻t = 3 s

瞬時速度v = 0

加速度a = −2 m/s²

核心：「速度為 0」只代表那一瞬間沒有往左或往右移動；只要速度還在改變，加速度就可以不為 0。

V-T 圖看掉頭最直覺

速度線「穿過 0」才叫掉頭

掉頭前：v > 0。
掉頭瞬間：v = 0。
掉頭後：v < 0。
整段斜率都不是 0，所以加速度一直存在。

判斷重點：V-T 圖只「碰到 0」後又回同一側，不一定代表掉頭；要看速度有沒有跨過 0 改變正負號。

13 · TICKER TIMER

打點計時器：把「一瞬間的速度」從紙帶上算出來

在這份補充資料中：頻率 50 Hz，所以相鄰兩點的時間間隔是 1/50 s = 0.02 s。紙帶位置資料為 0、0.2、0.8、1.8、3.2、5.0 cm。

補充實驗｜正式課綱已移往高中，但非常適合深化理解

固定時間間隔，把看不見的運動變成紙帶上的點距

先看頻率

50 Hz → 每兩點相隔 0.02 s；20 Hz → 每兩點相隔 0.05 s。

再看相鄰位移

點距愈大，代表同樣時間內走得愈遠，平均速度愈大。

最後看速度變化

相鄰區間的平均速度若等量增加，就可以判斷等加速度。

你這份補充講義的 0.2、0.6、1.0、1.4、1.8 cm 正好形成漂亮的規律，可一路連到平均速度、瞬時速度近似與加速度。

STEP 1 · 先把頻率翻成時間

50 Hz → 每秒 50 點 → 相鄰兩點 Δt = 0.02 s

最重要的第一步：看到 50 Hz 不要拿 50 直接乘距離；先轉成每兩點相隔 0.02 秒。

STEP 2 · 看紙帶

點與點越來越開，代表什麼？

每一段的時間完全相同，因此「兩點之間的段長」增加，就代表那一段的平均速度增加。

打點順序	1	2	3	4	5	6
位置（cm）	0	0.2	0.8	1.8	3.2	5.0

相鄰區間	1→2	2→3	3→4	4→5	5→6
相鄰位移（cm）	0.2	0.6	1.0	1.4	1.8
每段時間（s）	0.02	0.02	0.02	0.02	0.02

為什麼要拆開？「位置」屬於點；「相鄰位移」屬於兩點之間的區間。所以相鄰位移不該硬塞在第 1～6 點之下，而要寫成 1→2、2→3、3→4…… 這樣學生比較不會混淆。

STEP 3 · 相鄰兩點求平均速度

Δx ÷ 0.02 s

0.2÷0.02=10；0.6÷0.02=30；1.0÷0.02=50（cm/s）。每隔 0.02 s，平均速度穩定增加。

STEP 4 · 前後夾逼求瞬時速度

用「前一點到後一點」的平均速度近似中間點

例如第 3 點：用第 2 點到第 4 點，位移 1.6 cm、時間 0.04 s，所以約為 40 cm/s。

STEP 5 · 再從速度差求加速度

速度每 0.02 s 增加 20 cm/s

a = 20 ÷ 0.02 = 1000 cm/s² = 10 m/s²

這組數據刻意做成接近重力加速度的等加速度運動。接著可以延伸：

初速度0 m/s

加速度10 m/s²

10 s 末速度100 m/s

10 s 內位移500 m

第 10 秒內是 9 s → 10 s，不是「前 10 秒」。位移 = 500 − 405 = 95 m。

VIDEO · 1-3.4

等加速度運動之打點計時器

這支影片就放在學生已經親手算完紙帶之後：讓影片變成「驗證與整理」，而不是第一次看到公式。

實驗補充 05

打點計時器：從紙帶把運動「留下來」

裝置概念

紙帶連著運動物體，打點器以固定頻率留下點。每兩點的時間間隔固定，因此點距直接反映每段平均速度。

20 Hz / 50 Hz

20 Hz → 每兩點 0.05 s；50 Hz → 每兩點 0.02 s。第一步一定先把頻率換成時間。

紙帶判讀

等距 → 等速度；點距逐漸變大 → 越來越快；點距逐漸變小 → 越來越慢。

資料	1→2	2→3	3→4	4→5	5→6
相鄰位移（cm）	0.2	0.6	1.0	1.4	1.8
時間（50 Hz）	0.02 s	0.02 s	0.02 s	0.02 s	0.02 s
平均速度（cm/s）	10	30	50	70	90

真正重要的規律：平均速度依序 10、30、50、70、90 cm/s，每 0.02 s 都增加 20 cm/s，所以可推得加速度固定。

到這裡，運動學的量測工具已經接起來了
下一段再進自由落體：把剛剛量到的等加速度規律，套到地球表面物體的落下運動。

先做總檢查 ↓

READ THE PAPER TAPE

先別急著算：只看點距就能判斷運動狀態

等距相同時間走相同距離 → 等速度

點距愈來愈大相同時間走得愈遠 → 速率增加

點距愈來愈小相同時間走得愈近 → 速率減少

方向要另外判斷只看紙帶排列常看得出快慢變化；正負方向仍要配合拉帶方向。

GENERAL METHOD

打點計時器通用解題流程

頻率先變時間：f Hz → 每點間隔 Δt = 1/f。

相鄰點距 ÷ Δt：得到各小段平均速度。

中點瞬時速度：用前一點到後一點的平均速度，近似中間那一點的瞬時速度。

速度差 ÷ 時間：得到加速度；若每次速度增加量固定，就是等加速度。

再畫 V-t 圖：斜率檢查 a 是否固定，面積則回頭檢查位移。

20 Hz 與 50 Hz 別混掉

20 Hz：相鄰兩點 0.05 s；50 Hz：相鄰兩點 0.02 s。題目若換頻率，所有速度與加速度計算都會跟著改。

等加速度的「相鄰段差」

若每隔相同 Δt 打點，相鄰段位移每次固定增加 Δd，代表速度增加量固定；加速度可從位移差與時間平方建立關係。

進階馬上練：20 Hz 打點計時器中，AB、BC、CD 三段長分別為 2 cm、4 cm、6 cm。三段平均速度各為多少？

20 Hz → 每段 0.05 s。故平均速度依序為 40、80、120 cm/s，每 0.05 s 增加 40 cm/s，可進一步求加速度。

AUTO PRACTICE

打點計時器與等加速度

練習 20 Hz／50 Hz、相鄰位移、平均速度、瞬時速度與加速度的綜合題。

打點計時器綜合練習

開啟九年級理化自動出題頁，再切到這一段對應的題型。

14 · HIGH SCHOOL EXTENSION

高中延伸：上拋、平拋、斜拋

這裡不把國中頁面突然變成高中公式牆，而是把前面已學過的等加速度延伸到二維：水平方向、鉛直方向分開算，但共用同一個時間。

自由落體先分「理想模型」與「真實世界」

理想模型

忽略空氣阻力，只受重力時，地表附近可把加速度近似為固定的 g。

真實世界

羽毛、紙張等物體受到的空氣阻力很明顯，因此在空氣中可能落得比較慢。

NASA 真空倉影片的價值就在這裡：把空氣阻力大幅拿掉後，才能更清楚看見「不同質量物體具有相同重力加速度」的理想化規律。

為什麼現在先學好？

高二斜拋最後會一路拆回你現在學的東西

斜拋 → 拆成平拋／上拋的觀念 → 鉛直方向是自由落體／等加速度 → 水平方向是等速度。

所以這不是「未來突然多一章」。現在的速度、加速度、V-t 圖與自由落體，就是高中拋體運動的地基。

高中先修核心

拋體運動不是新的物理。它只是把運動拆成兩個方向：水平方向通常做等速度，鉛直方向做重力造成的等加速度。

VERTICAL THROW

上拋：先上升，再下降

若向上為正，忽略空氣阻力時，重力加速度永遠向下，所以 a = −g。速度一路減少，到最高點瞬間為 0，之後轉為負值下降。

V = V₀ − gt

y = V₀t − ½gt²

最高點：V = 0，但 a = −g，並沒有「加速度也變成 0」。

HORIZONTAL PROJECTILE

平拋：水平一直走，鉛直一直掉

初速度完全水平。忽略空氣阻力，水平方向沒有加速度；鉛直方向則從鉛直初速 0 開始自由落下。

水平 xvₓ = V₀
x = V₀t

鉛直 yvᵧ = −gt
y = h − ½gt²

重要：同一高度下，落地時間由鉛直運動決定，與水平初速度大小無關。

OBLIQUE PROJECTILE

斜拋：先把初速度拆成兩個分量

斜著丟出去的第一步，是把初速度 V₀ 分解；接著兩個方向各自用熟悉的運動規律處理。

V₀xV₀ cosθ

V₀yV₀ sinθ

水平：等速度。
鉛直：上拋／自由落體。
共同：同一個時間 t。

ONE IDEA · THREE MOTIONS

上拋、平拋、斜拋到底差在哪？

運動	水平初速度	鉛直初速度	加速度	軌跡
上拋	0	V₀	向下 g	鉛直直線
平拋	V₀	0	向下 g	拋物線
斜拋	V₀cosθ	V₀sinθ	向下 g	拋物線

INTERACTIVE SIMULATOR

同一個引擎，看三種拋體

初速度 V₀：20 m/s 角度 θ：45° 起始高度 h：0 m 重力加速度 g：10 m/s²

V₀x14.1

V₀y14.1

飛行時間2.83 s

水平射程40.0 m

實際軌跡速度分量示意

上拋的對稱性

若回到與出發點相同高度、忽略空氣阻力：上升時間＝下降時間；同高度的速度量值相同、方向相反。

斜拋的 45° 是什麼情況？

只有在「同高度發射、同高度落地、忽略空氣阻力」等理想條件下，固定初速度時 45° 才給最大水平射程。條件改變就不能直接套。

SYNCHRONIZED GRAPHS

同時看拋體的 X-T、V-T、A-T：以鉛直上拋為例

這裡先看鉛直方向。為了和前面課本記號一致，位置用 x 表示（實際上也可寫成 y）。設定：v₀ = +20 m/s，a = -10 m/s²。

X-T 圖 最高點是位置最大處，所以曲線在那裡轉彎；此時切線水平，因此斜率 = 0，也就是瞬時速度為 0。

V-T 圖 速度隨時間線性下降，並在最高點那一刻穿過 v = 0。這正是「掉頭」最清楚的圖像。

A-T 圖 整段都維持固定的負值，表示重力造成的加速度始終存在。所以最高點不是 a = 0，而是 v = 0、a ≠ 0。

三圖一起讀的結論：
最高點那一瞬間：x 最大、v = 0、a < 0。這就是「速度為 0，但加速度不為 0」的完整圖像。

t = 0 s往上且速度最大

t = 2 s到最高點，v = 0

t = 2 sa = -10 m/s² 仍存在

t > 2 s開始往下，v 變負

實驗補充 06

自由落體：重量不同真的會掉得不一樣快嗎？

歷史問題

講義以亞里斯多德與伽利略的對比引入：物體越重是否一定落得越快？

現代觀察

空氣中羽毛會受很大阻力；若降低空氣阻力，羽毛與硬幣的落下差異會大幅縮小。

連回模型

忽略空氣阻力時，地表附近不同物體受到相同的重力加速度 g。

觀察重點：先觀察不同物體落下的現象，再思考「重量是否決定落下加速度」，最後回到 g 的模型。

VIDEO · FALLING MOTION

自由落體

從等加速度延伸到重力加速度，為上拋與拋體運動建立共同背景。

VIDEO · FALLING MOTION

落體運動實驗

觀察不同物體落下與重力加速度的關係。