1
國一上：先看一個數怎麼變
加法改位置，乘法改尺度；負號還可能改方向。
平移
x → x+b
每一個數都加上同一個量。整條數線一起往左或往右搬。
x → x + 3伸縮
x → ax
0 不動，但各點離 0 的距離依倍率改變。
x → 2x混合
x → ax+b
先改尺度，再改位置。這個形式之後會一路跟到函數。
x → 2x + 3
2
國一下：把「變化前」和「變化後」分開命名
原本的一條數線，開始變成兩個量之間的對應。
命名
原本寫：
x → 2x+3
現在把「變化後的結果」叫做 y：
y = 2x + 3
這一刻很重要：我們不再只問「x 是多少」，而開始問「x 改變時，y 怎麼跟著改變？」
更後面的語言
國中可先說：
x → y
再往後會說：
x → f(x) 且 y=f(x)
自變數、應變數、函數，只是把同一個「輸入—規則—輸出」講得更正式。
3
真正重要的，不只是數值，而是「變化量」
先看規律，再回推式子；斜率的概念可以先長出來，名稱晚點再給。
互動 · 由規律生成表格
y = ax+b
| x | y | Δx | Δy |
|---|
先說人話，再寫符號
x 每增加 1，y 增加 3。
正式一點可以寫：
Δy / Δx = 3
到了高中，才把它正式稱為斜率：
m = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)
教學上不必急著讓國中生背「斜率」這個名詞，但非常值得提早養成「比較變化量」的習慣。
↔
互動：只看表格，你能不能猜出規律？
先讓學生從變化量猜 \(a\)，再利用任一組資料找出 \(b\)。
挑戰模式
找出 y = ax+b
| x | y |
|---|
先看相鄰兩列：x 每次變多少？y 又每次變多少？
思考順序
不要先亂代，先看變化
- 比較 \(\Delta x\)
- 比較 \(\Delta y\)
- 找出「x 每變 1，y 變多少」
- 先得到 \(a\)
- 再用任一組 \((x,y)\) 找 \(b\)
這其實就是在訓練「由資料回推模型」。之後物理、化學實驗甚至統計都會一直做同一件事。
◎
互動：同一條式子，同時看「表格、圖形、變化量」
學生調一個參數，三種表示方式一起變。
y = 2x + 1
| x | y | Δy |
|---|
x 每增加 1，y 增加 2。
→
方程式怎麼變成一條線？中間其實還有一大步
方程式本身不是圖。要先找到很多組解，把解改寫成座標，再把座標放進直角坐標系。
完整流程
給一個方程式
y = ax+b
y = ax+b
指定一個
x
x
代入計算
y
y
得到一組解
(x,y)
(x,y)
投到座標平面
成為一個點
成為一個點
一個方程式通常不只一組解。每一組符合方程式的 \((x,y)\)，都是座標平面上的一個點；當我們找到很多組解，就會開始看見它們排列出的規律。
互動 · 代入自變數，產生應變數
從 y = ax+b 產生一整排解
y = 2x + 1
自變數 x
應變數 y
= ax+b
= ax+b
座標
這些「解」怎麼變成座標？
例如當 x = 2 時，把 2 代入方程式：
y = 2(2)+1 = 5
所以其中一組解就是：
(x,y) = (2,5)
這組解放進直角座標系，就是一個點 (2,5)。
這裡要特別讓學生看到：
方程式 → 不是直接「變成線」；
而是方程式產生很多組解 → 每組解變成一個座標點 → 無限多組解在座標平面上形成連續的直線。
方程式 → 不是直接「變成線」；
而是方程式產生很多組解 → 每組解變成一個座標點 → 無限多組解在座標平面上形成連續的直線。
4
把 x、y 放進直角座標系：固定規律就長成一直線
表格裡看對應，座標系裡看形狀。
互動 · 線型關係
y = 3x + 2
所有符合這個規律的 \((x,y)\) 放進座標平面，就會排成一直線。
數線上看「一個數怎麼變」；表格裡看「兩個量怎麼一起變」；座標系裡看「這種變化長什麼樣子」。
5
一條線是一個條件；兩條線的交點，就是共同解
代數的「同時成立」與幾何的「交點」，是同一件事。
例如：
y = 2x + 1
y = -x + 7
如果一組 \((x,y)\) 同時滿足兩個條件，它就是兩條直線共同擁有的點。
聯立方程式的共同解 ＝ 兩條直線的交點
用詞提醒：這裡是「交點」，不是「焦點」。
6
加減消去法：不是魔術，而是重新組合條件
這個觀念，會一路延伸到矩陣列運算。
例如：
2x + y = 7
x - y = 2
兩式相加：
3x = 9
表面上是「把 y 消掉」，更重要的想法是：
用原本兩個已知關係，組合出一個更容易處理的新關係，而且不改變原本的共同解。
連回你已經學過的技巧
矩陣，可以先理解成「多項式的分離係數法」
以前整理多項式時，我們常把共同的文字部分先放一邊，只留下係數：
3x² + 5x - 2 → [ 3, 5, -2 ]
因為每個位置代表的東西已經固定：第一格是 \(x^2\) 的係數，第二格是 \(x\) 的係數，第三格是常數。
聯立方程式也能做同一件事。
互動 · 把文字抽掉，只留係數
從聯立方程式走到增廣矩陣
重點不是提早教矩陣符號。而是讓學生看懂：只要每一欄代表的變數位置固定，我們就可以暫時把 \(x,y\) 省略，只操作它們前面的係數。這和多項式分離係數的精神完全相同。
∞
把整條主線重新看一次
數線上的數
先知道位置、方向、距離。
x → ax+b
平移、伸縮、翻轉與混合變化。
x → y
把變化前與變化後分開命名。
觀察 Δx、Δy
開始研究「變化的規律」。
y=ax+b
把規律寫成代數關係。
直角座標系上的直線
把規律變成圖形。
兩線交點＝共同解
代數與幾何開始統一。
加減消去法
重新組合條件、保留共同解。
矩陣與線性代數
同一個思想，用更高階的語言繼續發展。
不要只問「是多少？」
更重要的是：它怎麼變？另一個量怎麼跟著變？這個變化有沒有固定規律？
更重要的是：它怎麼變？另一個量怎麼跟著變？這個變化有沒有固定規律？
