一、三個核心先站穩
後面所有題型都回到這三件事，不另外發明新口訣。
1
絕對值＝距離
|x−a| 就是數線上 x 到 a 的距離。距離永遠不會是負數。
|x−3|=5 → x 距離 3 恰好 5 → x=−2 或 8。
看到加號也要翻成距離：
|x+5| = |x−(−5)|，所以它表示 x 到 −5 的距離。
重點不是背「加 5 看成負 5」，而是把絕對值裡面整理成「x − 某個位置」的形式。
2
先「找 0」
看到 |ax+b|，先解 ax+b=0。這個 x 就是變號分界。
|2x−6| → 2x−6=0 → x=3。
3
數線訂正負，再打開
分界點把數線切開；每一段的正負固定。正的原樣，負的整包乘 −1。
負區間：|2x−6|=−(2x−6)=−2x+6，不是 2x+6。
二、先玩距離：|x−a| 到底在看什麼？
拖動 x 與中心 a。這一段數線固定在 −12～12，不會因為拖動而自己縮放；兩點之間標出的長度，就是 |x−a|。
三、找 0：真正的「打開絕對值」技巧
不是看見絕對值就直接拆，而是先找到內部等於 0 的位置。
標準操作流程
令內部＝0。 這些解就是所有分界點。
分界點排序畫在數線。 n 個分界點會切出 n+1 段。
每一段判斷正負。 線性式其實只要看一次就夠。
打開後再做原本的方程式或不等式。
四、單一絕對值：先距離，再公式
高中常見四型，本質只有「靠近中心」或「遠離中心」。
|x−a| < r
a−r < x < a+r
內側、且、空心端點
|x−a| ≤ r
a−r ≤ x ≤ a+r
內側、且、實心端點
|x−a| > r
x < a−r 或 x > a+r
外側、或、空心端點
|x−a| ≥ r
x ≤ a−r 或 x ≥ a+r
外側、或、實心端點
五、高中多一件事：把數線範圍寫成區間
區間符號只是數線的另一種語言；先看範圍，再翻譯符號。
a≤x≤b
[a,b]
a<x<b
(a,b)
x≥a
[a,∞)
x<a
(−∞,a)
兩段答案：例如 x≤−4 或 x≥1，可寫成 (−∞,−4] ∪ [1,∞)。
六、多個絕對值：找所有 0，分段處理
示範高中典型：|x| − |x−5| ≥ 1。兩個絕對值的分界分別是 x=0 與 x=5，所以數線切三段。
| 範圍 | |x| | |x−5| | 原式 | 本段解 |
|---|
| x<0 | −x | 5−x | −5≥1 | 無解 |
| 0≤x<5 | x | 5−x | 2x−5≥1 | 3≤x<5 |
| x≥5 | x | x−5 | 5≥1 | x≥5 |
關鍵：每一段算出的解，要跟該段的前提範圍取交集；最後不同分段的答案再取聯集。所以最後是 x≥3，即 [3,∞)。
七、距離和最小值：|x−8|+|x+4|
這不是另一套公式；仍然只是距離。
看懂之後，一行就夠
最小值 = 8 − (−4) = 12
|x−8| 是 x 到 8 的距離。
|x+4| 是 x 到 −4 的距離。
x 在 −4 到 8 之間時，兩段剛好拼成整段長度 12。
所以所有 −4≤x≤8 都能達到最小值。
一般化：|x−a|+|x−b| 的最小值是 |a−b|；x 位於 a、b 之間時達成。
八、誤差範圍：絕對值就是「離標準差多少」
高中會把 |x−a|≤b 連到商品、測量與工程容許誤差。
九、亂數練習：先畫在腦中，再選答案
單一絕對值四型，題目與選項都會改變。
正式題庫練習
互動觀念看懂之後，可以直接進入 Knowledge Atlas 題庫繼續練習。
距離先理解；複雜題先找 0；分段題別忘了「本段交集、最後聯集」。